Rozważmy równanie fal kulistych
\( u_{tt}=a^2\Delta u, \qquad (x,y,z) \in V,\quad t> 0 \)
z warunkami początkowymi
\( u(x,y,z,0)=\varphi (x,y,z), \quad u_t(x,y,z,0)=\psi(x,y,z), \qquad (x,y,z)\in V, \)
gdzie laplasjan \( \hskip 0.3pc \Delta = \frac {\partial ^2}{\partial ^2 x}+\frac {\partial ^2}{\partial ^2 y} +\frac {\partial ^2}{\partial ^2 z},\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) jest podzbiorem otwartym i spójnym w przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^3.\hskip 0.3pc \)
Technika rozwiązania zaprezentowana poniżej polega na przekształceniu równania o trzech zmiennych na jednowymiarowe równanie falowe. Redukcję taką uzyskamy wprowadzjąc tak zwane średnie sferyczne.
Przypuśćmy, że problem ( 1 ), ( 2 ) posiada rozwiązanie \( \hskip 0.2pc u\hskip 0.2pc \) w obszarze \( \hskip 0.2pc \Omega = V\times [0,\infty ).\hskip 0.2pc \) Ustalmy punkt \( \hskip 0.1pc P_0 =(x_0,y_0,z_0) \in V. \) Dobierzmy \( \hskip 0.2pc r>0\hskip 0.2pc \) tak, aby kula \( \hskip 0.2pc K(P_0,r) \subset V.\hskip 0.2pc \) Niech \( \hskip 0.2pc S(P_0,r)\hskip 0.2pc \) będzie sferą o środku w punkcie \( \hskip 0.3pc P_0\hskip 0.3pc \) i promieniu \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \). Połóżmy
\( \widetilde u(r,t)= \dfrac 1{4\pi r^2}\displaystyle\iint\limits_{S ( P_0,r)}u(\xi ,\eta,\zeta ,t)\,dS, \)
gdzie po prawej stronie występuje całka powierzchniowa po sferze \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc \), a \( \hskip 0.3pc (\xi ,\eta,\zeta) \hskip 0.3pc \) oznaczają współrzędne kartezjańskie punktu bieżącego na sferze. Wielkość \( \hskip 0.3pc \widetilde u(r,t)\hskip 0.3pc \) oznacza wartość średnią funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) na sferze \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc \) w chwili \( \hskip 0.3pc t.\hskip 0.3pc \)
Zapiszmy równanie sfery \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc \) we współrzędnych sferycznych
\( \xi = x_0+r \cos \alpha \cos \beta , \quad \eta = y_0+r\sin \alpha \cos \beta , \quad \zeta =z_0+r \sin \beta , \)
gdzie \( \hskip 0.3pc 0\leq \alpha < 2\pi, \hskip 0.3pc -\pi /2 \leq \beta \leq \pi /2\hskip 0.3pc \). Przypomnijmy też, że
element powierzchniowy \( \hskip 0.3pc dS\hskip 0.3pc \) na sferze \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc \), po przejściu na współrzędne sferyczne wyraża się wzorem
\( dS = r^2 \cos \beta\, d\alpha\, d\beta . \)
Zamieniając we wzorze ( 3 ) całkę powierzchniową na całkę iterowaną otrzymamy
\( \widetilde u(r,t)= \dfrac 1{4\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi /2}^{\pi/2} u( x_0+r \cos \alpha \cos \beta ,\,y_0+r\sin \alpha \cos \beta ,\,z_0+r \sin \beta,\,t)\cos \beta\,d\alpha\, d\beta , \)
lub krótko
\( \widetilde u(r,t)= \dfrac 1{4\pi r^2}\displaystyle\iint\limits_{S ( P_0,r)}u\,dS =\dfrac 1{4\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \displaystyle \int\limits_{-\pi /2}^{\pi /2} u\,\cos \beta\,d\alpha\, d\beta . \)
Oczywiście
\( \widetilde u(0,t) =u(x_0,y_0,z_0,t). \)
Całkując równanie ( 1 ) po kuli \( \hskip 0.3pc K(P_0,r)\hskip 0.3pc \) otrzymamy
\( \displaystyle\iiint\limits _{K ( P_0,r)}u_{tt}\,dxdydz\,=\,a^2\displaystyle\iiint\limits _{K ( P_0,r)}\Delta u\, dxdydz, \)
a po zastosowaniu do prawej strony wzoru Gaussa-Greena mamy
\( \displaystyle\iiint\limits _{K (P_0,r)}u_{tt}dxdydz\,=\,a^2\displaystyle\iint\limits _{S (P_0,r)}\dfrac{\partial u}{\partial \nu} dS, \)
gdzie \( \hskip 0.3pc \frac {\partial u}{\partial \nu}\hskip 0.3pc \) oznacza pochodną funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) w kierunku normalnej zewnętrznej do powierzchni \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc \). Zauważmy, że jeśli \( \hskip 0.3pc \nu=(\nu_1,\nu_2,\nu_3)\hskip 0.3pc \) jest unormowanym wektorem normalnym do powierzchni \( \hskip 0.3pc S(P_0,r)\hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc (\xi,\eta,\zeta)\hskip 0.3pc \), wówczas \( \hskip 0.3pc \xi =x_0+\nu_1r\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc \eta =y_0+\nu_2r,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \zeta =z_0+\nu_3r.\hskip 0.3pc \) Prosty rachunek pokazuje, że
\( \dfrac {\partial u}{\partial \nu} = \dfrac {\partial u}{\partial \xi}\nu_1+\dfrac {\partial u}{\partial \eta}\nu_2+\dfrac {\partial u}{\partial \zeta}\nu_3=\dfrac {\partial u}{\partial r}. \)
Stąd
\( \displaystyle\iiint\limits _{K (P_0,r)}u_{tt}\,dxdydz\,=\,a^2\displaystyle\iint\limits _{S (P_0,r)}\dfrac{\partial u}{\partial r} dS. \)
Po wprowadzeniu współrzędnych sferycznych i zamianie całek na całki iterowane otrzymamy
\( \displaystyle\int\limits_0^r\rho^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} u_{tt}\cos \beta\,d\alpha \,d\beta\,d\rho \,=\,a^2 \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}r^2\dfrac{\partial u}{\partial r}\cos \beta\,d\alpha\, d\beta . \)
Różniczkując ostatnią równość względem \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) i dzieląc przez \( \hskip 0.3pc 4\pi r^2\hskip 0.3pc \) otrzymamy
\( \dfrac 1{4\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}u_{tt}\cos \beta\,d\alpha\, d\beta\, =\,\dfrac {a^2}{ r^2}\dfrac {\partial}{\partial r}\Big(\dfrac 1{4\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}r^2\dfrac{\partial u}{\partial r}\cos \beta\,d\alpha d\beta\Big). \)
Zapisując różniczkowanie względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) na zewnątrz całki i wprowadzając średnie wartości sferyczne (zob. ( 4 ) ) otrzymamy
\( \dfrac {\partial^2 \widetilde u}{\partial t^2}-\dfrac{a^2}{r^2}\dfrac {\partial}{\partial r}\Big(r^2\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial r}\Big)\,=\,0. \)
Ponieważ
\( \dfrac {\partial^2 \big(r\widetilde u\big)}{\partial r^2} =\dfrac {\partial}{\partial r}\Big(\widetilde u+r\dfrac {\partial \widetilde u}{\partial r}\Big)=2\dfrac {\partial\widetilde u}{\partial r}+r\dfrac {\partial^2\widetilde u}{\partial r^2}, \)
\( \dfrac {\partial}{\partial r}\Big(r^2 \dfrac {\partial\widetilde u}{\partial r}\Big) =r\Big(2\dfrac {\partial\widetilde u}{\partial r} +r \dfrac {\partial^2\widetilde u}{\partial r^2}\Big) =r\Big(\dfrac {\partial}{\partial r}\big(\widetilde u +r \dfrac {\partial\widetilde u}{\partial r}\big)\Big) =r\Big(\dfrac {\partial}{\partial r}\Big(\dfrac {\partial }{\partial r}\big(r\widetilde u\big)\Big)\Big)=r \dfrac {\partial^2(r\widetilde u)}{\partial r^2}, \)
równanie ( 6 ) przyjmuje postać
\( \dfrac {\partial^2\widetilde u}{\partial t^2}-\dfrac{a^2}{r}\dfrac {\partial^2 \big(r \widetilde u\big)}{\partial r^2}\,=\,0, \)
a po pomnożeniu przez \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \)
\( \dfrac {\partial^2 (r\widetilde u)}{\partial t^2}-a^2\dfrac {\partial^2 \big(r \widetilde u\big)}{\partial r^2} \,=\,0 \)
Kładąc
\( v(r,t)=r\widetilde u(r,t) \)
otrzymamy
\( \dfrac {\partial^2v}{\partial r^2}=\dfrac{1}{a^2}\dfrac {\partial^2v}{\partial t^2}\qquad {\rm dla}\quad r>0,\hskip 0.5pc t>0. \)
(Oczywiście równanie ( 7 ) możemy rozważać dla \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb R.\hskip 0.3pc \)) Uśredniając - zgodnie z wzorem ( 3 ) - warunki początkowe ( 2 ) otrzymamy
\( \widetilde u(r,0)= \widetilde\varphi(r)=\dfrac 1{4\pi r^2}\displaystyle\iint\limits_{S (P_0,r)}\varphi (\xi ,\eta,\zeta )dS, \)
\( \widetilde u_t(r,0)= \widetilde\psi (r)=\dfrac 1{4\pi r^2}\displaystyle\iint\limits_{S (P_0,r)}\psi(\xi ,\eta,\zeta )dS, \)
Zatem funkcja \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 7 ) spełniającym warunki
\( v(r,0)= r\widetilde\varphi(r), \quad v_t(r,0) = r\widetilde\psi(r),\quad v(0,t)=0\quad {\rm dla}\quad r>0,\hskip 0.5pc t\in \mathbb R. \)
Rozwiązując równania charakterystyk
\( \Big(\dfrac {dt}{dr}\Big)^2-\dfrac 1{a^2}=0, \)
zgodnie z metodą d'Alemberta rozwiązanie ogólne równania ( 7 ) możemy zapisać w postaci
\( v(r,t)= F(t+r/a) + G(t-r/a), \)
gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) są dowolnymi funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \).
Z warunku \( \hskip 0.3pc v(0,t)=0\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc G(t)=-F(t)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) W konsekwencji
\( v(r,t)= F(t+r/a) - F(t-r/a). \)
Przechodząc w równości
\( \widetilde u(r,t)= \dfrac 1r v(t,r) = \dfrac 1a\Big( \dfrac{F (t+r/a)-F (t)}{r/a}+\dfrac{F (t)-F (t-r/a)}{r/a}\Big) \)
z \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) do zera, otrzymamy
\( \widetilde u(0,t)= \dfrac 2a F^\prime(t). \)
Sumując równości
\( \dfrac {\partial}{\partial r}(r\widetilde u)= \dfrac {\partial v}{\partial r}=\dfrac 1a F^\prime\big(t+ r/a\big) + \dfrac 1a F^\prime\big(t- r/a\big), \)
\( \dfrac 1a\dfrac {\partial}{\partial t}(r\widetilde u)= \dfrac 1a\dfrac {\partial v}{\partial t}= \dfrac 1aF^\prime\big(t+ r/a\big) - \dfrac 1aF^\prime\big(t- r/a\big) \)
otrzymamy
\( \dfrac {\partial}{\partial r}(r\widetilde u) + \dfrac 1a\dfrac {\partial}{\partial t}(r\widetilde u)= \dfrac 2a F^\prime\big(t+ r/a\big). \)
Obliczając wartości obu stron ostatniej równości w punkcie \( \hskip 0.3pc (0,a t)\hskip 0.3pc \) i wykorzystując równości ( 9 ) i ( 5 ) otrzymamy
\( \Big(\dfrac {\partial}{\partial r}(r\widetilde u) + \dfrac 1a\dfrac {\partial}{\partial t}(r\widetilde u)\Big)(0,a t) =\,\, \dfrac 2aF^\prime(t)\,=\,\widetilde u(0,t)\,=\, u(x_0,y_0,z_0,t). \)
Podstawiając w ostatnim wzorze w miejsce funkcji \( \hskip 0.3pc \widetilde u\hskip 0.3pc \) jej reprezentacje daną wzorem ( 3 ) otrzymamy
\( u(x_0,y_0,z_0,t)= \dfrac 1{4\pi}\bigg(\dfrac{\partial }{\partial r}\displaystyle\iint\limits_{S (P_0,r)}\dfrac urdS+ \dfrac 1a\displaystyle\iint\limits_{S (P_0,r)}\dfrac 1r \dfrac{\partial u}{\partial t}dS\bigg)\Bigg|_{(t,r)=(0,a t)}. \)
Uwzględniając warunki początkowe ( 2 ) oraz fakt, że
\( \dfrac {\partial}{\partial r}=\dfrac 1a \dfrac {\partial}{\partial t}\qquad {\rm dla}\quad r=a t \)
mamy
\( u(x_0,y_0,z_0,t)= \dfrac 1{4\pi a^2}\bigg(\dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\iint\limits_{S (P_0,a t)}\dfrac {\varphi}{t}dS+ \displaystyle\iint\limits_{S (P_0,a t)}\dfrac {\psi}{t} dS\bigg). \)
Przypomnijmy, że punkt \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0,z_0)\in V\hskip 0.3pc \) był ustalony dowolnie. Zatem opuszczając wskażnik \( \hskip 0.3pc 0\hskip 0.3pc \) otrzymamy wartość rozwiązania \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) dla dowolnych \( \hskip 0.3pc (x,y,z)\in V\hskip 0.3pc \) w postaci tak zwanego wzoru Kirchhoffa
\( u(x,y,z,t)= \dfrac 1{4\pi a^2}\bigg(\dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\iint\limits_{S (P,a t)}\dfrac {\varphi (\xi , \eta , \zeta)}tdS+ \displaystyle\iint\limits_{S (P,a t)}\dfrac {\psi (\xi , \eta , \zeta)}t dS\bigg), \)
lub po zastosowaniu transformacji
\( \xi = x+at \cos \alpha \cos \beta , \quad \eta = y+at\sin \alpha \cos \beta , \quad \zeta =z+at \sin \beta , \)
gdzie \( \hskip 0.3pc 0\leq \alpha < 2\pi, \hskip 0.3pc -\pi /2 \leq \beta \leq \pi /2 \),
\( \begin{aligned}u(x,y,z,t)=& \dfrac 1{4\pi }\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} t\varphi \big(\xi (\alpha, \beta),\eta (\alpha, \beta), \zeta(\alpha, \beta)\big) \cos \beta\, d\alpha\, d\beta \\ &+ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} t\psi \big(\xi (\alpha, \beta),\eta (\alpha, \beta), \zeta(\alpha, \beta)\big) \cos \beta \,d\alpha \,d\beta \Bigg).\end{aligned} \)
Przypomnijmy, że wzór Kirchhoffa otrzymaliśmy przy założeniu, że problem ( 1 ), ( 2 ) posiada rozwiązanie.
Na odwrót, jeśli założymy, że funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^3\hskip 0.3pc \) a funkcja \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) to nietrudno pokazać bezpośrednim rachunkiem, że funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) dana wzorem Kirchhoffa jest rozwiązaniem problemu ( 1 ), ( 2 ). Oczywiście rozwiązanie to jest określone jednoznacznie. Pokazaliśmy zatem następujące twierdzenie.
ZAŁOŻENIA:
Funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) jest klasy
\( \hskip 0.3pc C^3 \hskip 0.3pc \) a funkcja \( \hskip 0.3pc\psi \hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip0.3pc V. \) TEZA:
Wtedy w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega = \{(x,y,z,t): (x,y,z)\in V, \hskip 0.3pc t>0\}\hskip 0.3pc \) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie problemu
( 1 ),
( 2 ), przy czym jest ono określone następującym wzorem Kirchhoffa
\( \begin{aligned}u(x,y,z,t)&= \dfrac 1{4\pi a^2}\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\iint\limits_{S (P, a t)}\dfrac {\varphi (\xi ,\eta ,\zeta )}tdS+ \displaystyle\iint\limits_{S (P, a t)}\dfrac {\psi (\xi ,\eta ,\zeta )}t dS\Bigg)\\&=\dfrac 1{4\pi }\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t} \int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} t\varphi \cos \beta\, d\alpha\, d\beta+ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2} ^{\pi/2} t\psi \cos \beta \,d\alpha\, d\beta \Bigg),\end{aligned} \)
gdzie \( \hskip 0.3pc S (P,a t)\hskip 0.3pc \) oznacza sferę o środku w punkcie \( \hskip 0.3pc P(x,y,z)\hskip 0.3pc \) i promieniu \( \hskip 0.3pc a t\hskip 0.3pc \). Zauważmy, że pierwsza wersja wzoru Kirchhoffa
podana jest we współrzędnych kartezjańskich, zaś druga we współrzędnych sferyznych.
